Question

设函数f（x）=（x+1）2-2klnx．（1）当k=1时，求函数f（x） 在点P（1，4）处的切线方程（2）当k＜0时，求

设函数f（x）=（x+1）2-2klnx．（1）当k=1时，求函数f（x） 在点P（1，4）处的切线方程（2）当k＜0时，求函数g（x）=f'（x）在区间（0，2]上的最小值．

Answer 1

（1）k=1，f（x）=（x+1）²-2lnx．
则f′（x）=2x+2-

2

x

．
∵k=f′（1）=2+2-2=2，
∴函数f（x） 在点P（1，4）处的切线方程为：
y-4=2（x-1），
整理得2x-y+2=0．
（2）当k＜0时，g（x）=f′（x）=2x+2?

2k

x

．
g（x）=2(x+

?k

x

)+2≥4

?k

+2，
当且仅当x=

?k

时，上述“≥”中取“=”．
①若

?k

∈（0，2]，即当k∈[-4，0）时，
函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为 4

?k

+2；
②若k＜-4，则 g′(x)＝2(1+

k

x2

)在（0，2]上为负恒成立，
故g（x）在区间（0，2]上为减函数，
于是g（x）在区间（0，2]上的最小值为g（2）=6-k．
综上所述，当k∈[-4，0）时，
函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为 4

?k

+2；
当k＜-4时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为6-k．