Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF。 （1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度； （2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F 为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）连结BC， ∵A（10，0）， ∴OA=10 ，CA=5， ∵∠AOB=30°， ∴∠ACB=2∠AOB=60°， ∴弧AB的长= 。
（2）连结OD， ∵OA是⊙C直径， ∴∠OBA=90°， 又∵AB=BD， ∴OB是AD的垂直平分线， ∴OD=OA=10， 在Rt△ODE中，OE= ， ∴AE=AO-OE=10-6=4， 由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴ ， 即 ， ∴EF=3；
（3）设OE=x， ①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似， 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB， 当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC 中点， 即OE= ， ∴E 1 （ ，0）； 当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x， ∴CF∥AB，有CF= ， ∵△ECF∽△EAD， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∴E 2 （ ，0）；
②当交点E在点C的右侧时， ∵∠ECF＞∠BOA， ∴要使△ECF与△BAO相似， 只能使∠ECF=∠BAO， 连结BE， ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线， ∴BE=AB=BD， ∴∠BEA=∠BAO， ∴∠BEA=∠ECF， ∴CF∥BE， ∴ ， ∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED， ∴ ，而AD=2BE， ∴ ， 即 ，解得 ， ＜0（舍去）， ∴E 3 （ ，0）。
③当交点E在点O的左侧时， ∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连结BE，得BE= =AB，∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA， ∴CF∥BE， ∴ ， 又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED， ∴ ，而AD=2BE， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ＜0（舍去）， ∵点E在x轴负半轴上， ∴E 4 （ ，0）， 综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为： 0）。