Question

如图①所示，直线 ： 与 轴负半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点． （1）当 时，试确定直线 的解

如图①所示，直线 ： 与 轴负半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点． （1）当 时，试确定直线 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设 为 延长线上一点，连接 ，过 、 两点分别作 于 ， 于 ，若 ， ，求 的长；（3）当 取不同的值时，点 在 轴正半轴上运动，分别以 、 为边在第一、第二象限作等腰直角 和等腰直角 ，连 交 轴于 点，问当点 在 轴上运动时，试猜想 的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由．





Answer 1

（1）直线l的解析式为y=x＋5（2）AM=4（3）

试题分析：解：（1）由题知，k≠0．把x=0代入y=kx＋5k中，得y=5k；把y=0代入y=kx＋5k中，得x=－5．∴A（－5，0），B（0，5k），∵点B在y轴正半轴上，∴5k＞0．即OA=5，OB=5k． ∵OA=OB，∴k=1．∴直线l的解析式为y=x＋5． （2）法1：由（1）知，k=1，∴OA=5，OB=5．∵BN⊥OQ，AM⊥OQ，∴∠AMO=BNO=90°． ∵BN=3，∴在Rt△BON中， ． ∵MN=7，∴OM=3．∴在Rt△AMO中， ． 法2：由（1）知，OA=OB．∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO=BNO=90°，∴∠3＋∠2=90°． ∵∠AOB=90°，∴∠1＋∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△AOM≌△OBN（AAS）． ∴AM=ON，OM=BN=3．∵MN=7∴AM=ON=4 （3）PB长为定值． 法1：如图，过点E作EC⊥y轴于C，则∵△ABE为等腰直角三角形 ∴AB=BE，∠ABE=90°．由（2）法2易证，△AOB≌△BCE（AAS），∴BC=OA=5，CE=OB． ∵△OBF为等腰直角三角形，∴OB=BF，∠OBF=90°．∴BF=CE，∠PBF=∠PCE=90°． ∵∠1=∠2，∴△PBF≌△PCE（AAS）， ，即PB长为 ． 法二：由△AOB≌△BCE，可求E（－5k，5k＋5）．∵F（5k，5k）， 点评：本题难度较大，主要考查学生对全等三角形及勾股定理等知识点综合分析能力，注意培养数形结合思想，灵活运用掌握的几何性质定理，运用到考试考题中去。