Question

（2014?牡丹江一模）如图，直线L交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，线段OA、OB的长分别是方程x2-1

（2014?牡丹江一模）如图，直线L交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，线段OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0（OA＞OB）的两根的13．（1）求点A、B的坐标；（2）若点M在直线l上，且AM=109，求经过两点O、M的直线的解析式；（3）若点P在射线AB上且BP=10，在x轴上是否存在点Q使以点B、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）x²-14x+48=0
解得链桥x₁=6，x₂=8
∵OA＞OB
∴OA=8×

1

3

=

8

3

，OB=6×

1

3

=2
∴点A坐标为（-

8

3

，0），点B坐标为（0，2）．
（2）设直线l=kx+b，把点A、B代入得

? 8 3 k+b＝0 b＝2

解得k=

3

4

，b=2
∴l=

3

4

x+2
∵点M在直线l上，设点M坐标为（x，

3

4

x+2）
∴AM=

(x+ 8 3 )2+( 3 4 x+2)2

=

10

9

整理得出（

5

4

x+

10

3

）²=

100

81

解得x=-

16

9

或x=-

32

9

则

3

4

x+2=

2

3

或

3

4

x+2=-

2

3

∴点M坐标为（-

16

9

，

2

3

）或（-

32

9

，-

2

3

）
设经过两点O、M的槐咐直线的解析式为铅唤纯y=kx，
代入M点得出y=-

3

8

x或y=

3

16

x；
（3）存在点Q使以点B、P、Q为顶点的三角形是直角三角形．
由题意设P为（x，

3

4

x+2）
则BP=

x2+( 3 4 x+2?2)2

=10
解得x=8或x=-8，
∵P在射线AB上，
∴x=8，
则点P坐标为（8，8）
以点B、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，
①当∠PBQ=90°，则经过B、Q两点的直线为y=-

4

3

x+2，求得点Q坐标为（

3

2

，0）
②当∠BPQ=90°，则经过P、Q两点的直线为y=-

4

3

x+

56

3

，求得点Q坐标为（14，0）
③当∠PQB=90°，设Q点坐标为（x，0），则由勾股定理BQ²+PQ²=PB²，得出x²+2²+（x-8）²+8²=10²，
解得x=4，点Q坐标为（4，0）
综上所知点Q坐标为（

3

2

，0）或（14，0）或（4，0）．