Question

已知二次函数f（x）=x 2 -mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在

已知二次函数f（x）=x 2 -mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x 1 ＜x 2 ，使得不等式f（x 1 ）＞f（x 2 ）成立．设数列{a n }的前n项和S n =f（n）， b n =1- 8-m a n ，我们把所有满足b i ?b i+1 ＜0的正整数i的个数叫做数列{b n }的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题：①m=0；②m=4；③数列{a n }的通项公式为a n =2n-5；④数列{b n }的异号数为2；⑤数列{b n }的异号数为3．其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

若不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素， 根据二次函数的性质，应有△=（-m） 2 -4m=0 解得m=0或m=4． 当m=0时，f（x）=x 2 在（0，+∞）上是增函数，不满足（2），故①错误 当m=4时，f（x）=x 2 -4x+4=（x-2） 2 ，取0＜x 1 =1＜x 2 =2， 使得不等式f（x 1 ）＞f（x 2 ），故m=4，故②正确． 由上S n =f（n）=（n-2） 2 ，当n=1时，a 1 =S 1 =1， 当n≥2时，a n =S n -S n-1 =（n-2） 2 -（n-3） 2 =2n-5． ∴a n = 1，n=1 2n-5，n≥2 ．故③错误 当n=1时，b 1 =1-4=-3＜0， 而b 2 =1- 4 a 2 =5＞0，b 1 b 2 ＜0，所以i可以为1． n≥2时，b n ?b n+1 =（1- 4 2n-5 ）（1- 4 2n-3 ）= (2n-9)(2n-7) (2n-5)(2n-3) ＜0． 解得n=2，4．即i=2、4 即数列{b n }的异号数为3．故④错误，⑤正确 故答案为：②⑤