Question

（2011?怀柔区一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线

（2011?怀柔区一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面EFH；（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大小．

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）证明：∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴EH∥PB．
又∵EH?平面EFH，PB?平面EFH，
∴PB∥平面EFH．

（Ⅱ）解：∵F为PD的中点，且PA=AD，∴PD⊥AF，
又∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD，∴AB⊥PA．
又∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD．
又∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．
又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AF=A，∴PD⊥平面AHF．

（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，
∵E，F分别是线段PA，PD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB．
∵EH?平面PAB，EA?平面PAB，∴EF⊥EH，∴EF⊥EA，
∴∠HEA就是二面角H-EF-A的平面角．
在Rt△HAE中，AE＝

1

2

PA＝1，AH＝

1

2

AB＝1，∴∠AEH=45°，
所以二面角H-EF-A的大小为45°．

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0）．
（Ⅰ）证明：∵

PB

＝(2，0，?2)，

EH

＝(1，0，?1)，
∴

PB

＝2

EH

，
∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，
∴PB∥平面EFH．

（Ⅱ）解：

PD

＝(0，2，?2)，

AH

＝(1，0，0)，

AF

＝(0，1，1)，