Question

已知二次函数f（x）=ax2+（4a-1）x+3a在区间[-12，3]上的最大值为3，求实数a的取值

已知二次函数f（x）=ax2+（4a-1）x+3a在区间[-12，3]上的最大值为3，求实数a的取值．

Answer 1

根据二次函数在端点处或顶点取得最大值得：
（1）若f（?

1

2

）=3，即

a

4

?

4a?1

2

+3a＝3，解得a=2；
∴f（x）=2x2+7x+6＝2(x+

7

4

)2?

1

8

，∴f（3）是最大值，所以这种情况不存在；
（2）若f（3）=3，即9a+12a-3+3a=3，解得a=

1

4

；
∴f（x）=

x2

4

+

3

4

，∴;f(3)f（3）是最大值，且f（3）=3，所以这种情况正确；
（3）若f（

1?4a

2a

）=3，即

(1?4a)2

4a

+(4a?1)?

1?4a

2a

+3a＝3，解a＝?

1

2

；
∴f（x）=?

1

2

x2?3x?

3

2

＝?

1

2

(x+3)2+3，所以f（?

1

2

）最大，所以这种情况不存在；
综上得a=

1

4

．