Question

如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，E、F、G分别为AC，AA1，AB的中点．①求证：B1C1

如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，E、F、G分别为AC，AA1，AB的中点．①求证：B1C1∥平面EFG；②求FG与AC1所成的角；③求三棱锥B1--EFG的体积．

Answer 1

①E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥GE，
∵GE?平面GEF，B₁C₁?平面GEF，
∴B₁C₁∥平面EFG  
②取A₁C₁的中点M，连接MF，GM，
根据中位线可知AC₁∥MF
∴∠MFG为FG与AC₁所成的角
∵MF=

2

，GF=

3

，MG=

5

∴∠MFG=90°
∴FG与AC₁所成的角为90°．
③∵B₁C₁∥平面EFG，∴C₁与B₁到平面EFG的距离相等．  
∴VB1?EFG＝VC1?EFG＝VG?C1EF
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C₁，A₁C₁∩C₁C=C₁
∴B₁C₁⊥平面C₁CA₁
∵B₁C∥GE∴GE⊥平面C₁EF
∵GE＝

1

2

BC＝1，SC1EF＝2×2?

1

2

(1×2+1×1+1×2)＝

3

2

∴VB1?EFG＝

1

3

×

3

2

＝

1

2