Question

（2014?绥化）如图，抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1

（2014?绥化）如图，抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）令y=0，则-x²+3x+4=-（x+1）（x-4）=0，
解得 x₁=-1，x₂=4．
∴A（-1，0），B（4，0）．
当x=3时，y=-3²+3×3+4=4，
∴D（3，4）．
如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．
∵C（0，4），
∴CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC=45°．
在直角△OBC中，∵OC=OB=4，
∴BC=4

2

．
在直角△CDE中，CD=3．
∴CE=ED=

3

2

2

，
∴BE=BC-CE=

5

2

2

．
∴tan∠DBC=

DE

BE

=

3

5

；

（2）过点P作PF⊥x轴于点F．
∵∠CBF=∠DBP=45°，
∴∠PBF=∠DBC，
∴tan∠PBF=

3

5

．
设P（x，-x²+3x+4），则

?x2+3x+4

4?x

=

3

5

，
解得 x₁=-

2

5

，x₂=4（舍去），
∴P（-

2

5

，

66

25

）．