Question

已知数列{an}中，a2=a+2（a为常数），Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．（1）求a1，a3；（2

已知数列{an}中，a2=a+2（a为常数），Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．（1）求a1，a3；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

（1）由已知得Sn＝

nan+na

2

，
当n=1时，
S₁=a₁则2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃
则2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
（2）由a₁=a、a₂=a+2、a₃=a+4，
猜想：a_n=a+2（n-1）
证明：
①当n=1时，
左边=a₁=a，
右边=a+2（1-1）=a，
则当n=1时，等式成立，
当n=2时，
左边=a₂=a+2=右边，
故当n=2时，等式成立．
②假设n=K时，等式成立，
即a_K=a+2（K-1）则当n=K+1时，
a_K+1=S_K+1-S_K=

aK+1+a

2

(k+1)?

ak+a

2

k
∴（K-1）a_K+1=ka_k-a
即a_K+1=

K

K?1

a_k-

a

K?1

将a_K=a+2（K-1）代入得
a_K+1=a+2[（k+1）-1]，
∴当n=K+1时，等式也成立．由①②可知，对任何正整数n，
等式a_n=a+2（n-1）都成立．