Question

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，顶点坐标分别是A（20，0），B（8，16），C（20，25）．（1）分别求AB、BC

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，顶点坐标分别是A（20，0），B（8，16），C（20，25）．（1）分别求AB、BC的长度；（2）点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，10）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位），与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②）．①试确定点P从点A运动到点C所需要的时间；②当点P在AB上运动时，求S与t之间的函数关系式，并求当S取最大值时，点P的坐标；③在点P沿A→B→C的方向匀速运动过程中，使∠OPQ=90°的点P有几个？如果有，请求出相应t的值，如果没有，请说明理由．

Answer 1

（1）∵A（20，0），B（8，16），C（20，25），
∴AB=

(8?20)2+(16?0)2

=20，
BC=

(20?8)2+(25?16)2

=15；

（2）①由图2可知，点P在AB上运动的时间为4秒，
∴点P的运动速度为20÷4=5个单位/秒，
∴点P从点A运动到点C所需要的时间为（20+15）÷5=7秒；

②如图①，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．
∵AC⊥x轴，
∴PE∥AC，
∴∠1=∠BAC．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20，BC=15，AC=25，
∴sin∠BAC=

BC

AC

=

15

25

=

3

5

，cos∠BAC=

AB

AC

=

20

25

=

4

5

．
∵在Rt△AEP中，∠AEP=90°，AP=5t，
∴AE=AP?sin∠1=5t?

3

5

=3t，PE=AP?cos∠1=5t?

4

5

=4t，
∴OE=OA-AE=20-3t，
∴P（20-3t，4t）．
∵OQ=OD+DQ=10+5t，
∴△OPQ的面积S=

1

2

OQ?PF=

1

2

（10+5t）（20-3t）=-

15

2

t²+35t+100，
即S与t之间的函数关系式为S=-

15

2

t²+35t+100，
∵S=-

15

2

t²+35t+100=-

15

2

（t-

7

3

）²+

845

6

，
∴当t=

7

3

时，S取最大值时，此时点P的坐标为（13，

28

3

）；

③在点P沿A→B→C的方向匀速运动过程中，使∠OPQ=90°的点P有1个．
（Ⅰ）当点P在AB边上运动时，如图①，过点P作PF⊥y轴于点F．
由上可知，P（20-3t，4t），Q（0，10+5t），F（0，4t），0≤t≤4，
∵∠OPQ=90°，∴PF²=OF?FQ，即（20-3t）²=4t（10+5t-4t），
解得t=16±4

11

，其中0≤16-4

11

≤4，
∴当点P在AB边上运动时，使∠OPQ=90°的点P有1个；
（Ⅱ）同理当点P在BC边上运动时，如图③，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．过点B作MN⊥于x轴于点M，交PF于点N，则MN⊥PF．
∵MN∥AC，
∴∠MBA=∠BAC，
∵∠ABC=90°，∠BNP=90°
∴∠MBA=∠BPN=90°-∠PBN，
∴∠BPN=∠BAC．
∵在Rt△BNP中，∠BNP=90°，BP=5t-20，
∴BN=BP?sin∠BPN=（5t-20）?

3

5

=3t-12，PN=BP?cos∠BPN=（5t-20）?

4

5

=4t-16，
∴PF=FN+PN=8+4t-16=4t-8，OF=MN=BM+BN=16+3t-12=3t+4，
∴P（4t-8，3t+4），Q（0，10+5t），F（0，3t+4），4≤t≤7，
∵∠OPQ=90°，∴PF²=OF?FQ，即（4t-8）²=（3t+4）（10+5t-3t-4），
解得t=

9± 65

2

，均不符合4≤t≤7，
∴当点P在BC边上运动时，使∠OPQ=90°的点P有0个．
综上所述，符合题意的点P有1个，t=16-4

11

．