设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn＝a2n+2an+1(n∈N*)（1）证明数列{an}是等差数列，并求
设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn＝a2n+2an+1(n∈N*)（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得Sk...
设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn＝a2n+2an+1(n∈N*)（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得Sk2＝a2k+2048，若存在，求出k的值；若不存在请说明理由；（3）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有1Sm+1Sp≥2Sk．
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（1）解：∵4Sn＝
+2an+1，
∴当n≥2时，4Sn?1＝
+2an?1+1．
两式相减得4an＝
?
+2an?2an?1，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，∴an-an-1=2，
又4S1＝
+2a1+1，∴a1=1
∴{an}是以a1=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴an=a1+（n-1）d=2n-1；
（2）解：由（1）知Sn＝
＝n2，
假设正整数k满足条件，
则（k2）2=[2（k+2048）-1]2
∴k2=2（k+2048）-1，
解得k=65；
（3）证明：由Sn＝n2得：Sm＝m2，Sk＝k2，Sp＝p2
于是
+
?
＝
+
?
＝
∵m、k、p∈N*，m+p=2k，
∴
| a | 2 n |
∴当n≥2时，4Sn?1＝
| a | 2 n?1 |
两式相减得4an＝
| a | 2 n |
| a | 2 n?1 |
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，∴an-an-1=2，
又4S1＝
| a | 2 1 |
∴{an}是以a1=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴an=a1+（n-1）d=2n-1；
（2）解：由（1）知Sn＝
| (1+2n?1)n |
| 2 |
假设正整数k满足条件，
则（k2）2=[2（k+2048）-1]2
∴k2=2（k+2048）-1，
解得k=65；
（3）证明：由Sn＝n2得：Sm＝m2，Sk＝k2，Sp＝p2
于是
| 1 |
| Sm |
| 1 |
| Sp |
| 2 |
| Sk |
| 1 |
| m2 |
| 1 |
| p2 |
| 2 |
| k2 |
| k2(p2+m2)?2m2p2 |
| m2p2k2 |
∵m、k、p∈N*，m+p=2k，
∴
| k2(p2+m2)?2m2p2 |
m2p
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