Question

（2013?四川）如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线

（2013?四川）如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1-QC1D的体积．（锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高）

Answer 1

（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A₁BC内，而BC在平面A₁BC内，
故直线l与平面A₁BC平行．
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．
而AA₁∩AD=A，
∴直线l⊥平面ADD₁A₁ ．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，故三棱柱ABC-A₁B₁C为直三棱柱，
故DE⊥平面AA₁C₁C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC?cos60°=1，∴DE=AD?sin60°=

3

2

．
∵S△QA1C1=

1

2

?A1C1?AA1=

1

2

×2×1=1，
∴三棱锥A₁-QC₁D的体积 VA1?QC1D=VD?QA1C1=

1

3

?S△QA1C1?DE=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．