Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，求另一直角边BC的长．

Answer 1

过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠AMO=∠OFB=90°，∠ACB=∠CFM=∠AMF=90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∵∠AMO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△OBF中

∠OAM＝∠BOF ∠AMO＝∠OFB OA＝OB

∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
∴OF=CF，
∵∠CFO=90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC=6

2

，由勾股定理得：CF=OF=6，
∴BF=OM=OF-FM=6-5=1，
∴BC=6+1=7．