Question

已知数列{an}满足前n项和Sn=2n+1-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=（2n+1）?an，求

已知数列{an}满足前n项和Sn=2n+1-2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=（2n+1）?an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=4-2=2，满足a_n=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，
即数列{a_n}为等比数列，
∴an＝2n．
（2）∵b_n=（2n+1）?a_n，
∴b_n=（2n+1）?2ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）?2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）?2ⁿ+（2n+1）?2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=6+2×2²+2×2³+2×2⁴+…+2?2ⁿ-（2n+1）?2ⁿ⁺¹=6+2×

4(1?2n?1)

1?2

-（2n+1）?2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹