Question

已知数列{an}的前n项和是Sn，Sn=2an-1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=2n?

已知数列{an}的前n项和是Sn，Sn=2an-1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=2n?an，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）若数列{cn}满足cn=3n+2（-1）n-1λan（λ为非零常数），确定λ的取值范围，使n∈N*时，都有cn+1＞cn．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1．
当n＞1时，S_n=2a_n-1，∴S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a_n=2^n-1，n∈N^*．
（2）b_n=2n?a_n=n?2ⁿ．
2T_n=1?2+2?2²+…+n?2ⁿ，①
2T_n=1?2²+2?2³+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．
（3）∵Cn=3n+2?(-1)n+1λ2n-1=3ⁿ+（-1）ⁿ⁺¹λ2ⁿ
∴C_n+1＞C_n即  3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ
即3ⁿ⁺¹-3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ2ⁿ＞0
即2?3ⁿ+（-1）ⁿλ（2ⁿ⁺¹+2ⁿ）＞0
即2?3ⁿ+（-1）ⁿλ3?2ⁿ＞0
∴（-1）ⁿλ＞

-2?3n

3?2n

即（-1）ⁿλ＞-(

3

2

)n-1…（8分）
当n为偶数时-(

3

2

)n-1≤-

3

2

，∴λ＞-

3

2

…（10分）
当n为奇数时-(

3

2

)n-1≤-1，∴-λ＞-1
即 λ＜1
又∵λ≠0
∴-

3

2

＜λ＜1且λ≠0…（12分）