Question

（本小题满分12分）已知函数 （1）若 是单调函数，求 的取值范围；（2）若 有两个极值点 ，证明

（本小题满分12分）已知函数 （1）若 是单调函数，求 的取值范围；（2）若 有两个极值点 ，证明：

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Answer 1

解： （Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax 2 ＋x， f¢(x)＝－ －2ax＋1＝－ ．                      …2分 令Δ＝1－8a． 当a≥ 时，Δ≤0，f¢(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减．             …4分 当0＜a＜ 时，Δ＞0，方程2ax 2 －x＋1＝0有两个不相等的正根x 1 ，x 2 ， 不妨设x 1 ＜x 2 ， 则当x∈(0，x 1 )∪(x 2 ，＋∞)时，f¢(x)＜0，当x∈(x 1 ，x 2 )时，f¢(x)＞0， 这时f(x)不是单调函数． 综上，a的取值范围是[ ，＋∞)．                                 …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0， )时，f(x)有极小值点x 1 和极大值点x 2 ， 且x 1 ＋x 2 ＝ ，x 1 x 2 ＝ ． f(x 1 )＋f(x 2 )＝－lnx 1 －ax ＋x 1 －lnx 2 － ＋x 2 ＝－(lnx 1 ＋lnx 2 )－ (x 1 －1)－  (x 2 －1)＋(x 1 ＋x 2 ) ＝－ln(x 1 x 2 )＋  (x 1 ＋x 2 )＋1＝ln(2a)＋ ＋1．                      …9分 令g(a)＝ln(2a)＋ ＋1，a∈(0， ]， 则当a∈(0， )时，g¢(a)＝ － ＝ ＜0，g(a)在(0， )单调递减， 所以g(a)＞g( )＝3－2ln2，即f(x 1 )＋f(x 2 )＞3－2ln2．                  …12分

本题考查函数的单调性和不等式的证明，考查学生利用求导研究函数性质的解题能力和分类讨论思想的应用。第一问借助函数为单调函数进行转化；第二问通过构造函数，证明函数的单调性分析得到函数的最值达到证明不等式的目的.