Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA= 3 acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA= 3 acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c= 7 ，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵csinA= 3 acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA= 3 sinAcosC 结合sinA＞0，可得sinC= 3 cosC，得tanC= 3 ∵C是三角形的内角，∴C=60°； （Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA， 而3sin2A=6sinAcosA ∴由sinC+sin（B-A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA 当cosA=0时，∠A= π 2 ，可得b= c tanC = 21 3 ， 可得三角△ABC的面积S= 1 2 bc = 7 3 6 当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①， ∵c= 7 ，∠C=60°，c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC ∴a 2 +b 2 -ab=7…②， 联解①①得a=1，b=3， ∴△ABC的面积S= 1 2 absinC= 1 2 ×1×3×sin60°= 3 3 4 ． 综上所述，△ABC的面积等于 7 3 6 或 3 3 4 ．