Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知an+2Sn?Sn?1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12（1）求an（2）设bn＝2n?1sn，求数列

设数列{an}的前n项和为Sn，已知an+2Sn?Sn?1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12（1）求an（2）设bn＝2n?1sn，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

因为：an+2Sn?Sn?1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝

1

2

所以：s_n-s_n-1+2s_n?s_n-1=0?

1

sn

?

1

sn?1

=2．
∴{

1

sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列；
∴

1

sn

=2+2（n-1）=2n?sn＝

1

2n

．
∴n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

1

2n

?

1

2(n?1)

=-

1

2n(n?1)

．
而a1＝

1

2

不适合上式．
∴an＝

1 2 (n＝1) ?1 2n(n?1) (n≥2)

（6分） 
 （2）∵bn＝

2n?1

sn

=2n?2^n-1，
∴T_n=2（1?2⁰+2×2¹+3×2²+…+n?2^n-1）
∴2T_n=2（1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ）．
两式相减可得，-T_n=2（1×2⁰+2¹+…+2^n-1-n?2ⁿ）=2×[

1×(1?2 n)

1?2

-n?2ⁿ]=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（6分）