Question

数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{ann}是等差数列；（Ⅱ）设bn=3n?

数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{ann}是等差数列；（Ⅱ）设bn=3n?an，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

解答：证明（Ⅰ）∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴

an+1

n+1

＝

an

n

+1，
∴

an+1

n+1

?

an

n

＝1，
∴数列{

an

n

}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

an

n

＝1+(n?1)?1＝n，
∴an＝n2，
b_n=3ⁿ?

an

=n?3ⁿ，
∴Sn＝1×3+2×32+3×33+…+(n?1)?3^n-1+n?3ⁿ①
3Sn＝1×32+2×33+3×34+…+(n?1)?3ⁿ+n?3ⁿ⁺¹②
①-②得?2Sn＝3+32+33+…+3ⁿ-n?3ⁿ⁺¹
=

3?3n+1

1?3

?n?3n+1
=

1?2n

2

?3n+1?

3

2

∴Sn＝

2n?1

4

?3n+1+

3

4