Question

数列｛an｝中，a1=1，an＋1=2an+2^n(1)设bn=an/2^n-1。证明数列{bn}是等差数列（2）求数列{an}的前n项和sn

bn = an/2^(n-1)
b<n-1> = a<n-1>/2^(n-2)
bn - b<n-1>
= an/2^(n-1) - a<n-1>/2^(n-2)
= (an - 2a<n-1> )/2^(n-1)
把 已知条件 a<n+1> = 2an+2^n 即 an = 2a<n-1> + 2^(n-1) 代入上式

bn - b<n-1>
= 2^(n-1)/2^(n-1)
= 1

因此 bn 是等差数列

b1 = a1/2^(1-1) = 1/1 = 1
bn = n

--------------------
an/2^(n-1) = n
所以
an = n * 2^(n-1)
-------------------------
Sn = a1 + a2 + a3 + …… + a<n-1> + an
= 1 + 2*2 + 3*2^2 + …… + (n-1)*2^(n-2) + n * 2^(n-1)
2Sn = 2 + 2*2^2 + 3*2^3 + …… + (n-1)*2^(n-1) + n * 2^n

两式子相减， 把 2的乘方相同的相合并在一起
2Sn - Sn = Sn
= -1 + (1-2)*2 + (2-3)*2^2 + (3-4)*2^3 + …… [(n-1) -n]*2^(n-1) + n*2^n
= n*2^n - [ 1 + 2 + 2^2 + …… 2^(n-1)]
= n*2^n - 1*(2^n -1)/(2-1)
= n * 2^n - 2^n + 1
= (n-1)*2^n + 1

这个解析的bn - b<n-1>
= an/2^(n-1) - a<n-1>/2^(n-2)
= (an - 2a<n-1> )/2^(n-1) 我就是化不起来，怎么通分的啊。、

Answer 1

bn - b<n-1>
= an/2^(n-1) - a<n-1>/2^(n-2)
就是将a<n-1>/2^(n-2)分子分母同时乘以2
得到2a<n-1>/[2×2^(n-2)]=2a<n-1>/2^(n-1)
然后an/2^(n-1) - a<n-1>/2^(n-2)=an/2^(n-1)-2a<n-1>/2^(n-1)=(an-2a<n-1>)/2^(n-1)

Answer 2

b<n+1>-bn
=a<n+1>/2^n-an/2<n-1>
=2an+2^n/2^n-2an/2^n
=1
所以{bn}是等差数列

Answer 3

....这都看不出来,后面的还能懂?!

追问

所以后面的就没有看啦。。不过现在懂了。