Question

磁悬浮列车是一种高速运载工具，它由两个系统组成．一是悬浮系统，利用磁力使车体在轨道上悬浮起来从而减

磁悬浮列车是一种高速运载工具，它由两个系统组成．一是悬浮系统，利用磁力使车体在轨道上悬浮起来从而减小阻力．另一是驱动系统，即利用磁场与固定在车体下部的感应金属线圈相互作用，使车体获得牵引力，图22就是这种磁悬浮列车电磁驱动装置的原理示意图．即在水平面上有两根很长的平行轨道PQ和MN，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=B．列车底部固定着绕有N匝闭合的矩形金属线圈abcd（列车的车厢在图中未画出），车厢与线圈绝缘．两轨道间距及线圈垂直轨道的ab边长均为L，两磁场的宽度均与线圈的ad边长相同．当两磁场Bl和B2同时沿轨道方向向右运动时，线圈会受到向右的磁场力，带动列车沿导轨运动．已知列车车厢及线圈的总质量为M，整个线圈的总电阻为R．（1）假设用两磁场同时水平向右以速度v0作匀速运动来起动列车，为使列车能随磁场运动，列车所受的阻力大小应满足的条件；（2）设列车所受阻力大小恒为f，假如使列车水平向右以速度v做匀速运动，求维持列车运动外界在单位时间内需提供的总能量；（3）设列车所受阻力大小恒为f，假如用两磁场由静止开始向右做匀加速运动来起动列车，当两磁场运动的时间为t1时，列车正在向右做匀加速直线运动，此时列车的速度为v1，求两磁场开始运动到列车开始运动所需要的时间t0．

Answer 1

（1）列车静止时，电流最大，列车受到的电磁驱动力最大设为F_m，此时，线框中产生的感应电动势                    
 E₁=2NBLv₀
线框中的电流      I₁=

E1

R

整个线框受到的安培力    F_m=2NBI₁L
列车所受阻力大小为fm＜Fm＝

4N2B2L2v0

R

（2）当列车以速度v匀速运动时，两磁场水平向右运动的速度为v′，金属框中感应电动势E=2NBL（v'-v）
金属框中感应电流I＝

2NBL(v′?v)

R

又因为            F=2NBIL=f
求得           v′＝v+

fR

4N2B2L2

当列车匀速运动时，金属框中的热功率为   P₁=I²R
克服阻力的功率为     P₂=fv
所以可求得外界在单位时间内需提供的总能量为
E=I²R+fv=fv+

f2R

4N2B2L2

（3）根据题意分析可得，为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为a，则t₁时刻金属线圈中的电动势                 
                 E=2NBL（at₁-v₁）
金属框中感应电流              I＝

2NB L (at1?v1)

R

又因为安培力              F＝2NBIL＝

4N2B2L2(at1?v1)

R

所以对列车，由牛顿第二定律得    

4N2B2L2(at1?v1)

R

?f＝Ma
解得                    a＝

fR+4N2B2L2v1

4N2B2L2t1?MR

设从磁场运动到列车起动需要时间为t₀，则t₀时刻金属线圈中的电动势   E₀=2NBLat₀
金属框中感应电流         I0＝

2NBLat0

R

又因为安培力           F0＝2NBIL＝

4N2B2L2at0

R

所以对列车，由牛顿第二定律得   

4N2B2L2at0

R

＝f
解得        t0＝

fR

4N2B2L2a

＝

fR(4N2B2L2t1?MR)

4N2B2L2(fR+4N2B2L2v1)

．