Question

函数极限定义中δ的含义及求法

Answer 1

一、极限的计算：

就是算出当x无限地趋向于某个值x。时，函数 f(x) 越来越无止境地趋向于何值？

在一般情况下，就是直接代入。

有些情况是无法直接代入的，这就是不定式的七种类型，譬如分子分母都趋向于0，

我们就不能分子分母都代入0。而是要找出它们的比例究竟越来越趋向于什么数，

这样的结果，我们就产生了各种各样的计算极限的方法。

二、极限理论的证明。

这部分不好理解，请楼主细细看看下面的解释，会忽然开通。

 

1、极限的最早萌芽概念，我们祖先也有过，但是被当成诡辩学而埋葬了。

      时至今日，仍有绝大多数数学教师，一提到诡辩学，立马教条式地彻

      底否认，没有思辨的任何理性空间。

 

2、鬼子的祖先，也有诡辩学，他们认认真真地研究了paradox，由此而

     建立了极限理论。极限理论是桥梁，桥的这边是初等数学，桥的那边

     是微积分，是高等数学。我们的理论贡献局限在桥这边，桥那边的理

     论世界的建设，我们几乎完全是手无寸功，我们在科研上的落后就是

     从这里开始的。

 

3、极限的理论究竟是什么呢？

 

第一，极限的证明理论

 

这就是我们的大学新生大学伊始时，兴致勃勃地心情遇到的第一记沉重

的闷棍。极限的理论，其实是吵架的理论，是无止境争辩的过程，也是

无穷列举法的理论化过程。例如：

(1)、我说当 x 无限趋向于 2 时，x² 就无限趋近于 4。

(2)、你不信，你要我证明给你看。

(3)、我说，那你随便给一个很小的数，你给了0.5。

(4)、我通过计算，我说只要 x = 2.10 就行。

(5)、你反悔了，改成了0.4。

(6)、我重新计算了一下，我说只要 x = 2.09 就行。

(7)、你又反悔，又改成了0.3。

(8)、我又重新计算，我说只要 x = 2.07 就行。

(9)、你再次反悔，再改成0.2。

(10)、我再次计算，我说只要 x = 2.04 就行。

 

、、、、你不断地反悔，不断地提出越来越苛刻的数据，我也不断地计算， 

不断给出越来越接近于2的具体数，也就是越来越限制了 x 趋近于 2 的程

度、、、、、

 

结果我们都厌烦了。

 

(11)、我说，别闹了，你给出一个可以表示很小很小的象征性的数字吧。

(12)、你给出了一个代号 ε。

(13)、我根据你的代号 ε，经过一番计算，找到了另外一个数字代号 δ。
          我对你说，你自己随便找一个跟 2 的差距不大于 δ 的数就可以了。
          算了，算了，我把计算公式也给你吧，你自己出 ε，自己去找 δ，

          这样你还有什么话说？

争吵就这样结束了，无穷列出变成了一个理论计算过程，结果就得到了证明。

 

这个证明逻辑思路是：

 

只要你给得出一个无论多小的数，ε；

我就能根据你的 ε，算出一个 δ ；

只要将x 的取值，限制在 δ 的范围内，函数值与极限值之差就小于 ε。

由于 ε可以任意的小，两者之差可以无止境的小下去，就证明了极限。

 

δ 是根据 ε 算出的，我算出一个δ，你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范围，

所以，ε是任给的，δ 是根据 ε 推算的，但 δ 不是唯一的，可以有无数个

更严格的、更小的值。所以说，总存在一个 δ，但是这个 δ，必须由我们

去根据 ε找出来。

 

第二、极限的计算

微积分的前面部分，就是寻找各种计算方法，最典型的是罗毕达法则。

 

第三、极限的运用

可以说极限是微积分的基础，也可以说，微积分是极限理论的运用。

 

如果你不能明白极限的理论证明方法，

那么，我们得恭喜你！你真正理解了我们传统的优秀数学史，到了近代数学时，

怎么突然落后了、落伍了。当代理论，我们没有参与建立，迄今为止，我们还

处于三流开外。

 

如果你明白了极限的理论证明方法，

那么，我们得祝贺你！你真正开始领略到了现代数学、现代科学的真谛。体会

到了我们传统的、定性、模棱两可、之乎者也的学风，更现代数学、现代科学、

现代医学、、、、、之间的鸿沟是多么得深，多么得广，多么得不可同日而语。

三、极限的证明示例：

四、极限的计算方法总结

下面是本人平时的用法所做的总结，并配有例题。考研不会超出这个范围。

若看不清楚，请点击放大。