Question

如图二次函数的图象经过点D（0， ），且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得线段AB长为6. （1）利用二

如图二次函数的图象经过点D（0， ），且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得线段AB长为6. （1）利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A（，）；B（，）；（2）求二次函数的解析式； （3）该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； （4）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1） ∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6， ∴ A（ 1，0 ）、B（ 7，0 ） （2）设二次函数的解析式为：y=a(x-h) 2 +k， ∵顶点C的横坐标为4，且过点（0， ） ∴y=a(x-4) 2 +k     ，  …………① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6， ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………②， 由①②解得a= ，k= ， ∴二次函数的解析式为： 或 （3）利用待定系数法求一次函数解析式， 即直线DB为y=- + （4）由（1）知点C(4， )， 又∵AM=3， ∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= ，∴∠ACM=60 o ， ∵AC=BC，∴∠ACB=120 o ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ， 由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120 o ，则∠QBN=60 o ， ∴QN=3 ，BN=3，ON=10，此时点Q(10， )， 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2， ) ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4， )， 经检验，点(10， )与(-2， )都在抛物线上， 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为 (10， )或(-2， )或(4， )．