Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E．（1）①求证：△ABE∽△ADB；②若AE=2，ED=4，求⊙O的面积；

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E．（1）①求证：△ABE∽△ADB；②若AE=2，ED=4，求⊙O的面积；（2）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，若AC∥FD，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）①∵⊙O的弦AB=AC，∴弧AB=弧AC， ∴∠ABE=∠ADB， 又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB； ②∵△ABE∽△ADB， ∴ ，可得AB 2 =AD×AE ∵AE=2，ED=4， ∴AB 2 =AD×AE=6×2=12，可得AB=2 ， ∵BD为⊙O的直径， ∴Rt△ABD中，BD= =4 所以⊙O的半径为R=2 ，可得⊙O的面积为：S=πR 2 =12π（平方单位） （2）直线FA与⊙O相切 证明如下：连接AO ∵AC∥FD，∴∠C=∠CBD ∴弧AC=弧CD， ∵弧AB=弧AC，得弧AC= 弧BAD ∴∠AOB= ×180°=60°， 可得△ABO是等边三角形． ∴△ABF中，∠FBA=180°-∠ABO=120° ∵BF=BO=AB= BD ∴∠F=∠FBA=30° 因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90° ∴OA⊥FA，直线FA过半径OA的外端且与半径OA垂直， ∴直线FA与⊙O相切

（1）①根据等弧所对的圆周角相等，结合公共角，可得∠ABE=∠ADB且∠BAE=∠DAB，不难得到△ABE∽△ADB； ②由△ABE∽△ADB，可得AB 2 =AD×AE，代入数据可得AB 2 =12，结合BD为⊙O的直径，可在Rt△ABD中，求出BD=4 ，从而得到⊙O的半径为2 ，最后利用圆面积公式即得⊙O的面积． （2）直线FA与⊙O相切．连接AO，利用平行线的内错角相等，得到∠C=∠CBD，从而弧AC=弧CD，再结合弧AB=弧AC，得到弧AC= 弧BAD，所以∠AOB=60°，得△ABO是等边三角形．接下来不难在等腰△ABF中，算出∠F=∠FBA=30°，因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°，OA⊥FA，得到直线FA与⊙O相切．