Question

已知m∈R，函数f（x）=（x 2 +mx+m）e x （1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；（2）当m=0时，求证f

已知m∈R，函数f（x）=（x 2 +mx+m）e x （1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；（2）当m=0时，求证f（x）≥x 2 +x 3 ．

Answer 1

（1）∵m∈R，函数f（x）=（x 2 +mx+m）e x  没有零点， ∴方程 x 2 +mx+m=0 无解，∴△=m 2 -4m＜0，解得 0＜m＜4， 故实数m的取值范围为（0，4）． （2）当m=0时，f（x）=x 2 ?e x ，不等式等价于 x 2 ?e x ≥x 2 +x 3 ， 等价于 x 2 ?e x -x 2 -x 3 ≥0，等价于 x 2 （e x -x-1）≥0． 令g（x）=e x -x-1，当x＜0时，g′（x）=e x -1＜0，故g（x）=e x -x-1 在（-∞，0）上是减函数． 当x＞0时，g′（x）=e x -1＞0，故g（x）=e x -x-1 在（0，+∞）上是增函数． 故g（x）=e x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，故g（x）≥0恒成立， ∴x 2 （e x -x-1）≥0成立，故要证的不等式成立．