Question

如图，抛物线y=ax2+2x的对称轴为过点（3，0）且与y轴平行的直线，抛物线与x轴相交于点B、O．（1）求抛物

如图，抛物线y=ax2+2x的对称轴为过点（3，0）且与y轴平行的直线，抛物线与x轴相交于点B、O．（1）求抛物线所对应的函数关系式，并求出顶点A的坐标；（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l，点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，请你直接写出点Q的坐标（不必写过程）．

Answer 1

（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，
∴点B坐标为（6，0）．
将点B坐标代入y=ax²+2x得：
36a+12=0；
∴a=?

1

3

．
∴抛物线解析式为y＝?

1

3

x2+2x．
当x=3时，y＝?

1

3

×32+2×3＝3；
∴顶点A坐标为（3，3）．（3分）
（说明：可用对称轴为x＝?

b

2a

，求a值，用顶点式求顶点A坐标）

（2）设直线AB解析式为y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴

6k+b＝0 3k+b＝3

解得

k＝?1 b＝6

，
∴y=-x+6．
∵直线l∥AB且过点O，
∴直线l解析式为y=-x．
∵点P是l上一动点且横坐标为t，
∴点P坐标为（t，-t）．
当P在第四象限时（t＞0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=

1

2

×6×3+

1

2

×6×|-t|
=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3．
又t＞0，
∴0＜t≤3．
当P在第二象限时（t＜0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，
则S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=

1

2

[3+(?t)]?(3?t)+

1

2

×3×3?

1

2

(?t)(?t)，
=

1

2

(t?3)2+

9

2

?

1

2

t2
=-3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3；
又t＜0，
∴-3≤t＜0；
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3．