Question

（2011?抚顺）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．（1）求证：CF

（2011?抚顺）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．（1）求证：CF为⊙O的切线．（2）若半径ON⊥AD于点M，CE=3，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵CD垂直平分OB，∴OE=

1

2

OB，∠CEO=90°，
∵OB=OC，
∴OE=

1

2

OC，
在Rt△COE中，sin∠ECO=

EO

OC

=

1

2

，
∴∠ECO=30°，
∴∠EOC=60°，
∵∠CFO=30°，
∴∠OCF=90°，又OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可得∠COF=60°，
由圆的轴对称性可得∠EOD=60°，∴∠DOA=120°，
∵OM⊥AD，OA=OD，∴∠DOM=60°．
在Rt△COE中，CE=

3

，∠ECO=30°，cos∠ECO=

EC

OC

，
∴OC=2，
在Rt△ODM中，OD=2，∠ADO=30°，
∴OM=ODsin30°=1，MD=ODcos30°=

3

，
∴S_扇形OND=

60π×22

360

=

2

3

π，
∴S_△OMD=

1

2

OM?DM=

3

2

，
∴S_阴影=S_扇形OND-S_△OMD=

2

3

π-

3

2

．