Question

设函数f（x）=alnx-bx2，a，b∈R（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切； ①求实数a，b的值； &..

设函数f（x）=alnx-bx2，a，b∈R（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切； ①求实数a，b的值； ②求函数f（x）在[1e，e]上的最大值；③当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，32]，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

①函数f（x）=alnx-bx²，的导数f′（x）=

a

x

-2bx，
由于函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切，则a-2b=0，-b=-

1

2

，
解得a=1，b=

1

2

；
②f（x）=lnx-

1

2

x²，f′（x）=

1

x

?x，f′（x）=0，解得x=1，1∈[

1

e

，e]，
且f（1）=-

1

2

，f（

1

e

）=-1-

1

2e2

，f（e）=1-

1

2

e²，
则函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值为：f（1）=-

1

2

；
③当b=0时，不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
则alnx≥m+x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
即m≤alnx-x对所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立，
令h（a）=alnx-x，则h（a）为一次函数，
由于x∈（1，e²]，则lnx＞0，在a∈[0，

3

2

]上单调递增，
则h（a）_min=h（0）=-x，即有m≤-x对所有的x∈（1，e²]都成立．
则m≤（-x）_min=-e²．
即有实数m的取值范围是（-∞，-e²]．