Question

设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切．（1）求实数a，b的值；（2）求函

设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-12相切．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在[1e，e]上的最大值；（3）已知函数g（x）=x3+3m2x+2m-32（m为实数），若对任意x1∈[1e，e]，x2∈[0，1]，总有f（x1）＜g（x2）成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝

a

x

?2bx．
∵函数f（x）在x=1处与直线y＝?

1

2

相切，
∴

f′(1)＝a?2b＝0 f(1)＝?b＝? 1 2

，解得

a＝1 b＝ 1 2

…（3分）
（2）f(x)＝lnx?

1

2

x2，f′(x)＝

1

x

?x＝

1?x2

x

…（5分）
当

1

e

≤x≤e时，令f'（x）＞0得

1

e

＜x＜1；令f'（x）＜0，得1＜x＜e；
∴f(x)在(

1

e

，1)上单调递增，在（1，e）上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝?

1

2

…（8分）
（3）由g'（x）=3x²+3m²≥0知g（x）在[0，1]上单调增．  …（9分）
g（x）最小值为g(0)＝2m?

3

2

，…（10分）
命题等价于f（x）_max＜g（x）_min…（11分）
即?

1

2

＜2m?

3

2

得m＞

1

2

…（12分）