Question

如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿B

如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP=______cm，BQ=______cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于 10 3 cm 2 ？

Answer 1

（1）由题意，得 AP=6cm，BQ=12cm． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=12cm， ∴BP=12-6=6cm． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°， 当∠PQB=90°时， ∴∠BPQ=30°， ∴BP=2BQ． ∵BP=12-x，BQ=2x， ∴12-x=2×2x， ∴x= 12 5 ， 当∠QPB=90°时， ∴∠PQB=30°， ∴BQ=2PB， ∴2x=2（12-x）， x=6 答6秒或 12 5 秒时，△BPQ是直角三角形； （3）作QD⊥AB于D， ∴∠QDB=90°， ∴∠DQB=30°， ∴DB= 1 2 BQ=x， 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得 DQ= 3 x， ∴ (12-x) 3 x 2 =10 3 ， 解得；x 1 =10，x 2 =2， ∵x=10时，2x＞12，故舍去 ∴x=2． 答：经过2秒△BPQ的面积等于 10 3 cm 2 ． 故答案为：6、12．