Question

已知函数f(x)=lg(x+ -2)，其中a是大于0的常数，(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)当a∈(1，4)时，求函数f(x)

已知函数f(x)=lg(x+ -2)，其中a是大于0的常数，(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，+∞)上的最小值；(Ⅲ)若对任意x∈[2，+∞)恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意， ，即x(x 2 -2x+a)＞0， ⅰ)当Δ=4-4a＜0，即a＞1时，x 2 -2x+a＞0恒成立，故定义域为(0，+∞)； ⅱ)当Δ=4-4a=0，即a=1时，定义域为(0，1)∪(1，+∞)； ⅲ)当Δ=4-4a＞0，即a＜1时， ， 即定义域为 ； (Ⅱ)∵1＜a＜4， 在 上递减， 上递增， 又 ， ∴ 在[2，+∞)上递增， ∴ 。 (Ⅲ)f(x)＞0 ，即a＞(3-x)x在[2，+∞)恒成立， t=-x 2 +3x(x≥2)的最大值为2， ∴a＞2。