Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝π3，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求四棱锥P-

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD＝π3，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）求证：AD⊥PB；（3）若点E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？

Answer 1

解：（1）如图
过P作PM⊥AD于M，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PM?平面PAD，
∴PM⊥面ABCD； 
又PA=PD=5，AD=8
∴M为AD的中点，且PM=

52?42

=3，
∵菱形ABCD中，∠BAD＝

π

3

，AD=8，
∴V_P-ABCD=

1

3

×8×8×sin

π

3

×3=

1

3

×64×

3

2

×3=32

3

，
∴四棱锥P-ABCD的体积为32

3

；
（2）证明：连接BM，BD；
∵BD=BA=8，AM=DM，∠BAD＝

π

3

，∴AD⊥BM，
又AD⊥PM，且BM∩PM=M，
∴AD⊥平面PMB，
∵PB?平面PMB，
∴AD⊥PB；
（3）能找到，并且点F为棱PC的中点，
证法一：∵F为PC的中点，点E为BC的中点，∴EF∥PB；
又由（2）可知AD⊥PB，∴AD⊥EF，
由AD⊥BM，BM∥DE，∴AD⊥DE；
又AD⊥EF，且DE∩EF=E，∴AD⊥面DEF；
又AD?面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD；
证法二：设CM∩DE=O，连FO，∴O为MC的中点；
在△PMC中，FO∥PM，
∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD，
又FO?面DEF，∴面DEF⊥面ABCD．