Question

若定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＜

若定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＜1（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）若f（4）=5，不等式f（cosx2+asinx-2）＞3对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）解：令x₁=x₂=0，则2f（0）-1=f（0）即f（0）=1；
（2）证明：令x₁＞x₂则x₁-x₂＞0，f（x₁-x₂）＜1，
即有f（x₁）+f（-x₂）-1＜1，
又令x₁+x₂=0则f（x₁）+f（x₂）-1=1，
即f（x₁）+f（x₂）=2 即f（-x₂）=2-f（x₂），
∴f（x₁）+2-f（x₂）＜2 即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数；
（3）解：∵f（4）=5
∴2f（2）-1=f（4）=5即f（2）=3，
∴f（cos²x+acosx-2）＞3=f（2）
∵f（x）在R上为减函数，
∴cos²x+asinx-2＜2即sin²x-asinx+3＞0，
当sinx=0时 不成立；
当sinx∈（0，1]时 a＜sinx+

3

sinx

，
∴sinx=1时取最小为4 即a＜4；
当sinx∈[-1，0）时a＞sinx+

3

sinx

，
当sinx=-1时 取最大且为-4 即a＞-4；
∴a的取值范围为（-4，4）．