Question

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，AC＝CE．（1）求证：AF=CF；（2）若⊙O的半径为5，AE=8，求EF的

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，AC＝CE．（1）求证：AF=CF；（2）若⊙O的半径为5，AE=8，求EF的长．





Answer 1

（1）证明：如图，连接BC、AC，
∵

AC

=

CE

，
∴∠B=∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴∠CAE=∠ACD，
∴AF=CF；

（2）解：连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，则OC⊥AE，EG=AG=

1

2

AE=4．
∵

AC

=

CE

，
∴∠COE=∠COA，即∠GOE=∠DOC，
又∠OGE=∠ODC=90°，OE=OC，
∴△EGO≌△CDO（AAS），
∴OG=OD．
在△OEG中，∵∠OGE=90°，OE=5，EG=4，
∴OG=

OE2?EG2

=3，
∴OD=OG=3，CG=AD=2．
设GF=x，则CF=AF=4-x，
在△CGF中，∵∠CGF=90°，
∴CF²=CG²+GF²，即（4-x）²=2²+x²，
解得x=1.5，
∴EF=EG+GF=4+1.5=5.5．