已知数列{an}的各项均为正数，数列{bn}，{cn}满足bn=an+2an，cn=anan+12．（1）若数列{an}为等比数列，求
已知数列{an}的各项均为正数，数列{bn}，{cn}满足bn=an+2an，cn=anan+12．（1）若数列{an}为等比数列，求证：数列{cn}为等比数列；（2）若...
已知数列{an}的各项均为正数，数列{bn}，{cn}满足bn=an+2an，cn=anan+12．（1）若数列{an}为等比数列，求证：数列{cn}为等比数列；（2）若数列{cn}为等比数列，且bn+1≥bn，求证：数列{an}为等比数列．
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解答：证明：（1）因为数列{an}为等比数列，所以
=q（q为常数），
又因为cn=anan+12．
所以
=
=q3为常数，所以数列{cn}为等比数列；
（2）因为数列{cn}是等比数列，所以
=q（q为常数），
所以
=
=
=q（q为常数），
则
=
，
所以
=
，
∵bn=
，
故bn+22=bn+1?bn．
因为bn+1≥bn，所以bn+2≥bn+1，则bn+22≥bn+12≥bn+1?bn．
所以bn+2=bn+1=bn．
∴
=
，即an+3=an+1?
．
因为数列{cn}是等比数列，所以
=
，即
=
，
把an+3=an+1?
代入化简得an+12=an?an+2，
所以数列{an}为等比数列．
| an+1 |
| an |
又因为cn=anan+12．
所以
| cn+1 |
| cn |
an+1?
| ||
an
|
（2）因为数列{cn}是等比数列，所以
| cn+1 |
| cn |
所以
| cn+1 |
| cn |
an+1?
| ||
an
|
| ||
an
|
则
| ||
an
|
| ||
an+2
|
所以
| ||
|
| an+2?an+3 | ||
an
|
∵bn=
| an+2 |
| an |
故bn+22=bn+1?bn．
因为bn+1≥bn，所以bn+2≥bn+1，则bn+22≥bn+12≥bn+1?bn．
所以bn+2=bn+1=bn．
∴
| an+3 |
| an+1 |
| an+2 |
| an |
| an+2 |
| an |
因为数列{cn}是等比数列，所以
| cn+1 |
| cn |
| cn+2 |
| cn+1 |
| ||
an
|
| ||
an+1
|
把an+3=an+1?
| an+2 |
| an |
所以数列{an}为等比数列．
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