Question

已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相

已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=455，求m的值．（3）在（2）条件下，是否存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为55，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变为（x-1）²+（y-2）²=5-m．
当5-m＞0即m＜5时，方程C表示圆．
（2）圆心（1，2）到直线l的距离d=

|1+4?4|

5

=

1

5

，
∵弦长|MN|=

4 5

5

，∴(

|MN|

2

)2+d2＝r2．∴(

2 5

5

)2+(

1

5

)2＝5?m，解得m=4．
故m=4．
（3）如图所示，圆心（1，2）到直线l的距离d=

|1?4+c|

5

=

|c?3|

5

，
假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

5

5

，
必须1?

|c?3|

5

＞

5

5

，化为|c?3|＜

5

?1，∴1?

5

＜c?3＜

5

?1，
解得4?

5

＜c＜2+

5

．
因此存在c∈(4?

5

，2+

5

)，满足条件．