Question

高中数学等式证明

已知等式成立，
求证：等式也一定成立。

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Answer 1

已知等式两边同乘以abc(a+b+c)，得到(a+b+c)(bc+ac+ab)=abc，即abc+a^2c+a^2b+b^2c+abc+b^2a+bc^2+ac^2+abc=abc，a^2c+ac^2+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+2abc=0，ac(a+c)+ab(a+b+c)+bc(a+b+c)=0，ac(a+c)+b(a+b+c)(a+c)=0，(a+c)(ac+ab+b(b+c))=0，(a+c)(b+c)(a+b)=0
则可得到，a、b、c中必有两个之和为0，这样不难看出要证等式成立

Answer 2

∵1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)
∴(ab+ac+bc)(a+b+c)/[abc(a+b+c)]=abc/[abc(a+b+c)]
∴(ab+ac+bc)(a+b+c)=abc
(ab+ac+bc)a+(ab+ac+bc)(b+c)=abc
a^2(b+c)+(ab+ac+bc)(b+c)=0
(b+c)(a^2+ab+ac+bc)=0
(b+c)(a+b)(a+c)=0
∴a,b,c中定有两个之和为0
∴所要证的等式成立。