高中数学不等式证明 10
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本题有多种证法，比如导函数法，局部不等式法等;
最简洁的是用构造法:
构造上凸函数f(t)=1/(1+t²)，
则依Jensen不等式得
f(x)+f(y)+f(z)≤3f[(x+y+z)/3]=3f(1/3)，
∴1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)
≤3×1/[1+(1/3)²)]
=27/10.
故原不等式得证。
最简洁的是用构造法:
构造上凸函数f(t)=1/(1+t²)，
则依Jensen不等式得
f(x)+f(y)+f(z)≤3f[(x+y+z)/3]=3f(1/3)，
∴1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)
≤3×1/[1+(1/3)²)]
=27/10.
故原不等式得证。
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能用局部不等式法证明一下吗？
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