Question

已知函数f（x）=λx2+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（...

已知函数f（x）=λx2+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0． （1）当λ=-1时，求函数g（x）的最大值； （2）求函数h（x）的单调区间； （3）设函数φ(x)=f(x)，x≤0g(x)，x＞0.若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）当λ=-1时，g（x）=lnx-x，（x＞0）
∴g′(x)=1x-1=1-xx，(x＞0)
令g′（x）=0，则x=1，
∴g（x）=lnx-x在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减
∴g（x）max=g（1）=-1
（2）h（x）=λx2+2λx+lnx，
h′(x)=2λx+2λ+1x=2λx2+2λx+1x，（x＞0）
∴当λ＞0时，h'（x）＞0，∴函数h（x）的增区间为（0，+∞），
当λ＜0时，h′(x)=2λ(x--λ-λ2-2λ2λ)(x--λ+λ2-2λ2λ)x，
当x＞-λ-λ2-2λ2λ时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数；
当0＜x＜-λ-λ2-2λ2λ时，h′（x）＞0，函数h（x）是增函数．
综上得，
当λ＞0时，h（x）的增区间为（0，+∞）；
当λ＜0时，h（x）的增区间为(0，-λ-λ2-2λ2λ)，
减区间为(-λ-λ2-2λ2λ，+∞)（10分）
（3）当x＞0，φ′(x)=λ+1x在（0，+∞）上是减函数，
此时φ′（x）的取值集合A=（λ，+∞）；
当x＜0时，φ′（x）=2λx+λ，
若λ＞0时，φ′（x）在（-∞，0）上是增函数，
此时φ′（x）的取值集合B=（-∞，λ）；
若λ＜0时，φ′（x）在（-∞，0）上是减函数，
此时φ′（x）的取值集合B=（λ，+∞）．
对任意给定的非零实数x，
①当x＞0时，∵φ′（x）在（0，+∞）上是减函数，
则在（0，+∞）上不存在实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t），
则t∈（-∞，0），要在（-∞，0）上存在非零实数t（t≠x），
使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有A⊆B，∴λ＜0；
②当x＜0时，φ′（x）=2λx+λ在（-∞，0）时是单调函数，
则t∈（0，+∞），要在（0，+∞）上存在非零实数t（t≠x），
使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有B⊆A，∴λ＜0．
综上得，实数λ的取值范围为（-∞，0）．