Question

已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求证：B1D1⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（

已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求证：B1D1⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）（文）求三棱锥A-BDE的体积．（理）求三棱锥A-B1DE的体积．

Answer 1

解：（1）证明：连接BD，则BD∥B₁D₁，（1分）
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．
又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）
∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．（5分）

（2）证明：作BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是CC₁、BB₁的中点，∴CE

∥

.

B₁F，
∴四边形B₁FCE是平行四边形，
∴CF∥B₁E．（7分）
∵E，F是CC₁、BB₁的中点，∴EF

∥ .

.

BC，
又BC

∥ .

.

AD，∴EF

∥ .

.

AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，
∵AF∩CF=F，B₁E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B₁DE．（9分）
又AC?平面ACF，∴AC∥面B₁DE．（10分）

（3）（文）S△ABD=

1

2

AB?AD=2． （11分）
VA-BDE=VE-ABD=

1

3

S△ABD?CE=

1

3

S△ABD?CE=

2

3

．（14分）
（理）∵AC∥面B₁DE
∴A 到面B₁DE 的距离=C到面B₁DE 的距离（11分）
∴VA-B1DE=VC-B1DE=VD-B1EC=

1

3

?(

1

2

?1?2)?2=

2

3

（14分）