（2014?大连一模）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB的延长线相交
（2014?大连一模）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB的延长线相交与点D．（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想...
（2014?大连一模）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O相切，切点分别为A、C，PC的延长线与AB的延长线相交与点D．（1）猜想BC与OP的位置关系，并证明你的猜想；（2）若OA=1，PA=2，求BD的长．
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（1）猜想：BC∥OP，
证明：连接OC，
∵PA、PC与⊙O相切，
∴OA⊥PA，OC⊥PC，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
在Rt△PAO和Rt△PCO中
∴Rt△PAO≌Rt△PCO，
∴∠AOP=∠COP=
∠AOC，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB+∠OBC=∠AOC，
∴∠OCB=∠OBC=
∠AOC，
∴∠AOP=∠OBC，
∴BC∥OP；
（2）解：在Rt△PAO中，∠PAO=90°，OA=1，PA=2，由勾股定理得：PO=
=
，
作OE⊥BC，垂足为E．则∠PAO=∠OEB=90°，BE=
BC，
∵∠AOP=∠EBO，∠PAO=∠BEO=90°，
∴△OAP∽△BEO，
∴
=
，
即
=
，
解得：BC=
证明：连接OC，
∵PA、PC与⊙O相切，
∴OA⊥PA，OC⊥PC，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
在Rt△PAO和Rt△PCO中
|
∴Rt△PAO≌Rt△PCO，
∴∠AOP=∠COP=
| 1 |
| 2 |
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB+∠OBC=∠AOC，
∴∠OCB=∠OBC=
| 1 |
| 2 |
∴∠AOP=∠OBC，
∴BC∥OP；
（2）解：在Rt△PAO中，∠PAO=90°，OA=1，PA=2，由勾股定理得：PO=
| 11+22 |
| 5 |
作OE⊥BC，垂足为E．则∠PAO=∠OEB=90°，BE=
| 1 |
| 2 |
∵∠AOP=∠EBO，∠PAO=∠BEO=90°，
∴△OAP∽△BEO，
∴
| OA |
| OP |
| BE |
| OB |
即
| 1 | ||
|
| ||
| 1 |
解得：BC=
2
|
