Question

设实数a，b满足a≠b，求证：a4+b4＞ab（a2+b2）

设实数a，b满足a≠b，求证：a4+b4＞ab（a2+b2）．

Answer 1

解答：选修4-5：不等式选讲
证明：作差得a⁴+b⁴-ab（a²+b²）=a³（a-b）+b³（b-a）=（a-b）²（a²+ab+b²）．         …（4分）
=（a-b）²[（a+

b

2

）²+

3b2

4

]．                                  …（6分）
因为a≠b，所以a，b不同时为0，故（a+

b

2

）²+

3b2

4

＞0，（a-b）²＞0，
所以（a-b）²[（a+

b

2

）²+

3b2

4

]＞0． 
即有a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．  …（10分）