Question

如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是 上异于

如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是 上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5， ，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设 ，求 与 之间的函数关系式.（不要求写出 的取值范围）

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Answer 1

（1）证明见解析；（2） ；（3） .

试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论. （2）由AC=2BC，设 ，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得 ，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由 可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得 ，即可求得PD的长. （3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得 ，由角的转换可得 ，由△AGP∽△DGB可得 ，由△AGD∽△PGB可得 ，两式相乘可得结果. 试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B， 又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC. ∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD. 又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF. （2）连接BP，设 ，∵∠ACB=90°，AB=5，∴ .∴ . ∵△ACE∽△ABC，∴ ，即 . ∴ . ∵AB⊥CD，∴ . 如图，连接BP， ∵ ，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°， . ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6. 由（1）△PAC∽△PDF得 ，即 . ∴PD的长为 . （3）如图，连接BP，BD，AD， ∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即 . ∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD. ∵ ，∴ . ∵△AGP∽△DGB，∴ . ∵△AGD∽△PGB，∴ . ∴ ，即 . ∵ ，∴ . ∴ 与 之间的函数关系式为 .