Question

已知函数f（x）=log3（ax2+2x+3），a∈R．（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f（x）

已知函数f（x）=log3（ax2+2x+3），a∈R．（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）的定义域为R，则ax²+2x+3＞0恒成立，…（1分）
若a=0时，2x+3＞0，x＞?

3

2

，不合题意； …（3分）
所以a≠0；
由

a＞0 △＝22?4?a?3＜0

得：a＞

1

3

．…（6分）
（2）由f（x）的值域为R，所以{y|y=ax²+2x+3，x∈R}?（0，+∞），…（7分）
（也可以说y=ax²+2x+3取遍一切正数）
①若a=0时，y=2x+3可以取遍一切正数，符合题意，…（9分）
②若a≠0时，需

a＞0 △＝22?4?a?3≥0

，即0＜a≤

1

3

； …（12分）
综上，实数a的取值范围为（0，

1

3

]．…（13分）