Question

线性代数求方程公共解的问题，来源是2002年的一道考研真题？

现在已经求出2个方程组的两组基础解系（都是列向量）。方程组1的是（2，-1,1,1）和（-1,2,4,7）方程组2的是（-5,3，-1,0）和（3，-2,0，-1）。题目要求我们写出全部非零公共解，但是这里是找不到k1和k2之间的线性关系的，应该怎么处理

Answer 1

1.你的k2求错了，k2与m的关系式里，m2的系数符号应该为正。将k用m代换，并提取公因式m1与m2可以验证这一说法。
2.你求出了这样的关系组，不就说明任意给m1，m2，可以推出对应的k1与k2来成为这个解。那你就要考虑，任意给k1，k2，可以求出对应的m1，m2来成为这个解吗，同样是可以的（把这看作一个方程组，则有r（系数矩阵）=r（增广矩阵）=2），那你这两组基础解系其实表示的是同一组解，不过这样考察很奇怪，我倾向于认为你在求基础解系的时候求错了，当然，也有可能出题人就这么奇怪。

Answer 2

这个基要稍微变化一下，注意变换过后的向量放到一个矩阵里的样子：
第一个方程：

v1 = （2，-1,1,1）T
v2 = （-1,2,4,7）T
v2' = (1,-2,-4,-7)T = -v2
v1' = (v1 +2v2)/3 = (0, 1,3,5)T
v2''=v2' +2v1' =(1, 0, 4, 3)T

第二个方程
v3 = （-5,3，-1,0）T
v4 = （3，-2,0，-1）T
v3' =(-5, 3, -1,0)T =v3不变
v4' = -(5v4 + 3v3) = (0, 1, 3, 5)T
V3'' = (3v4' - v3)/5 = (1, 0, 2, 3)
这样方程组1的基v2''=(1,0,4,3)T,v1'= (0,1,3,5)T
方程组2的基为v3''=(1,0,2,3)T, v4'=(0,1,3,5)T
x=c1 v1' + c2 v2'' = c3v3'' + c4 v4'
得到c1=c4, c2=c3=0
所以公共解为c(0,1,3,5)T