2012考研数学易混淆概念分析之线性代数(五)
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数学虽然属于理科科目,但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此特别为2012年的广大考生归纳一下线性代数的部分知识点。下面介绍的是矩阵的相似、合同、等价。
1.等价:矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称A与B等价;
矩阵等价的充要条件:是同型矩阵且r(A)=r(B)
存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B
2.相似:设A,B是n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P,使,则称A与B相似,记为:A ~ B
相似矩阵的性质:如果A ~ B,从而A,B有相同的特征值
(A,B 有相同的迹)
注意:这些都是必要条件,可排除哪些矩阵不相似,亦可用来确定相似矩阵的一些参数.若其中有一个不成立,说明A与B不相似.
例1 已知若A ~ B,则由迹相等知:4+b=2+(-1),得b= -3 由行列式相等知:-12 - 2a = -2 得 a= -5 .
并且,由于B是对角矩阵,2与-1就是B的特征值,则根据特征值相等知,2与-1也是A的特征值.
3.合同:两个n阶实对称矩阵A和B,如存在可逆矩阵C,使得,则称矩阵A和B合同.
两个实对称矩阵合同的充要条件:二次型与有相同的正、负惯性指数;
两个实对称矩阵合同的充分条件: A与B相似.
例2 设则有A和B合同.
证明 因为有可逆矩阵 ,
使 ,或者,由二次型与有相同的正惯性指数 及相同的负惯性指数 ,所以合同.
注意:A和B不相似,因为相似的必要条件是特征值相同,显然不满足.
1.等价:矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称A与B等价;
矩阵等价的充要条件:是同型矩阵且r(A)=r(B)
存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B
2.相似:设A,B是n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P,使,则称A与B相似,记为:A ~ B
相似矩阵的性质:如果A ~ B,从而A,B有相同的特征值
(A,B 有相同的迹)
注意:这些都是必要条件,可排除哪些矩阵不相似,亦可用来确定相似矩阵的一些参数.若其中有一个不成立,说明A与B不相似.
例1 已知若A ~ B,则由迹相等知:4+b=2+(-1),得b= -3 由行列式相等知:-12 - 2a = -2 得 a= -5 .
并且,由于B是对角矩阵,2与-1就是B的特征值,则根据特征值相等知,2与-1也是A的特征值.
3.合同:两个n阶实对称矩阵A和B,如存在可逆矩阵C,使得,则称矩阵A和B合同.
两个实对称矩阵合同的充要条件:二次型与有相同的正、负惯性指数;
两个实对称矩阵合同的充分条件: A与B相似.
例2 设则有A和B合同.
证明 因为有可逆矩阵 ,
使 ,或者,由二次型与有相同的正惯性指数 及相同的负惯性指数 ,所以合同.
注意:A和B不相似,因为相似的必要条件是特征值相同,显然不满足.
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