Question

如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另

如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．（1）求证：PA=PE；（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．

Answer 1

（1）证明：过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠MPB=45°=∠ABD，
∴PM=BM，
同理BP=BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP，
∴四边形BMPN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴都减去∠MPE得：∠APM=∠NPE，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNE，
在△APM和△EPN中

∠AMP＝∠ENP PM＝PN ∠APM＝∠EPN

∴△APM≌△EPN（ASA），
∴AP=PE；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，
∵∠PMB=?PNB=90°，
∴PM∥AD，PN∥CD，
∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，
∴

PM

AD

=

BP

BD

，

PN

CD

=

BP

BD

，
∴

PM

AD

=

PN

CD

，
∴

PM

PN

=

AD

CD

=

10

8

=

5

4

，
∵∠AMP=∠ENP=90°，∠MPA=∠EPN，
∴△APM∽△EPN，
∴

AP

PE

=

PM

PN

=

5

4

，
AP：PE=5：4；

（3）解：AP：PE=5：4．