Question

如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中

如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则 的值为 　 　 ；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求 的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论．





Answer 1

解：（1） 。 （2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN。 ∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN。 又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF。 ∴ 。 由（1）知， ， ∴ 。 （3）变化。证明如下： 如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB。 ∵PM∥BC，PN∥AB， ∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN。 ∴△APM∽△PCN。 ∴ ，得CN=2PM。 在Rt△PCN中， ， ∴ 。 ∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN。 又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF。 ∴ 。 ∴ 的值发生变化

试题分析：（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得 的值： ∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC。 ∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC。∴∠APE=∠PCF。 ∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB。∴∠PAE=∠CPF。 ∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF， ∴△APE≌△PCF（ASA）。∴PE=CF。 在Rt△PCF中， ，∴ 。 （2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得 的值； （3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得 ；然后证明△PME∽△PNF，从而由 求得 的值。与（1）（2）问相比较， 的值发生了变化。