如图1,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC.(1)在图
如图1,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC.(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想线段PG与PC之间的位...
如图1,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC.(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想线段PG与PC之间的位置关系和数量关系,(2)将题中的“正方形ABCD和正方形BEFG”变为“菱形ABCD和菱形BEFG”,其他条件不变.①如图2,若∠ABC=∠BEF=60°,试探究线段PG与PC之间的位置关系和数量关系;②若∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),请你直接写出线段PG与PC之间的位置关系和数量关系(数量关系用含α的式子表示)
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(1)PG⊥PC,PG=PC.
理由如下:如图1,延长GP交CD于H,
∵P是线段DF的中点,
∴DP=FP,
∵正方形ABCD和正方形BEFG的点A、B、E在同一条直线上,
∴DC∥AE∥GF,
∴∠PDH=∠PFG,∠PHD=∠PGF,
∵在△PDH和△PFG中,
∴△PDH≌△PFG(AAS),
∴PH=PG,DH=FG,
∵CH=CD-DH,CG=BC-BG,BC=CD,
∴CH=CG,
∴△CHG是等腰直角三角形,
∴PG⊥PC,PG=PC;
(2)①如图,延长GP交CD于H,与(1)同理可得PH=PG,CH=CG,
∴△CGH是等腰三角形,
∵∠ABC=∠BEF=60°,
∴∠BCD=120°,
∴∠CGP=
(180°-120°)=30°,
又∵PH=PG,
∴PG⊥PC,
PC=PG?tan∠CGP=PG?tan30°=
PG,
故,PG⊥PC,PC=
PG;
②∵∠ABC=∠BEF=2α,
∴∠BCD=180°-2α,
∵△CGH是等腰三角形,
∴∠CGP=
[180°-(180°-2α)]=α,
又∵PH=PG,
∴PG⊥PC,
PC=PG?tan∠CGP=PG?tanα,
故PG⊥PC,PC=PG?tanα.
理由如下:如图1,延长GP交CD于H,
∵P是线段DF的中点,
∴DP=FP,
∵正方形ABCD和正方形BEFG的点A、B、E在同一条直线上,
∴DC∥AE∥GF,
∴∠PDH=∠PFG,∠PHD=∠PGF,
∵在△PDH和△PFG中,
|
∴△PDH≌△PFG(AAS),
∴PH=PG,DH=FG,
∵CH=CD-DH,CG=BC-BG,BC=CD,
∴CH=CG,
∴△CHG是等腰直角三角形,
∴PG⊥PC,PG=PC;
(2)①如图,延长GP交CD于H,与(1)同理可得PH=PG,CH=CG,
∴△CGH是等腰三角形,
∵∠ABC=∠BEF=60°,
∴∠BCD=120°,
∴∠CGP=
1 |
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又∵PH=PG,
∴PG⊥PC,
PC=PG?tan∠CGP=PG?tan30°=
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3 |
故,PG⊥PC,PC=
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3 |
②∵∠ABC=∠BEF=2α,
∴∠BCD=180°-2α,
∵△CGH是等腰三角形,
∴∠CGP=
1 |
2 |
又∵PH=PG,
∴PG⊥PC,
PC=PG?tan∠CGP=PG?tanα,
故PG⊥PC,PC=PG?tanα.
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